Grundlagen der Mathematik I

§ 1. Das Problem der Widerspruchsfreiheit in der Axiomatik als logisches Entscheidungsproblem.- a) Formale Axiomatik.- 1. Verhältnis der formalen zur inhaltlichen Axiomatik; Frage der Widerspruchsfreiheit; Arithmetisierung.- 2. Geometrische Axiome als Beispiel.- 3. Rein logische Fassung der Axiomatik.- b) Das Entscheidungsproblem.- 1. Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit.- 2. Entscheidung für endliche Individuenbereiche.- 3. Methode der Aufweisung.- c) Die Frage der Widerspruchsfreiheit bei unendlichem Individuenbereich.- 1. Formeln, die nicht im Endlichen erfüllbar sind; die Zahlenreihe als Modell.- 2. Problematik des Unendlichen.- 3. Nachweis der Widerspruchsfreiheit als Unmöglichkeitsbeweis; Methode der Arithmetisierung.- § 2. Die elementare Zahlentheorie. — Das finite Schließen und seine Grenzen.- a) Die Methode der anschaulichen Überlegung und ihre Anwendung in der elementaren Zahlentheorie.- 1. Begriff der Ziffer; Beziehung „kleiner“; Addition.- 2. Rechengesetze; vollständige Induktion; Multiplikation; Teilbarkeit; Primzahl.- 3. Rekursive Definitionen.- 4. Unmöglichkeitsbeweis.- b) Weitere Anwendungen anschaulicher Überlegungen.- 1. Beziehung zwischen Zahlentheorie und Anzahlenlehre.- 2. Standpunkt der formalen Algebra.- c) Der finite Standpunkt; Überschreitung dieses Standpunktes bereits in der Zahlentheorie.- 1. Logische Charakterisierung des finiten Standpunktes.- 2. Das „tertium non datur“ für ganze Zahlen; das Prinzip der kleinsten Zahl.- d) Nichtfinite Methoden in der Analysis.- 1. Verschiedene Definitionen der reellen Zahl.- 2. Obere Grenze einer Zahlenfolge; obere Grenze einer Zahlenmenge.- 3. Das Auswahlprinzip.- e) Untersuchungen zur direkten finiten Begründung der Arithmetik; Rückkehr zur früheren Problemstellung; die Beweistheorie.- § 3. Die Formalisierung des logischen Schließens I: Der Aussagenkalkul.- a) Theorie der Wahrheitsfunktionen.- 1. Die Wahrheitsfunktionen und ihre Schemata.- 2. Ersetzbarkeit; Ersetzungsregeln.- 3. Beispiele von Ersetzbarkeiten.- 4. Dualität; konjunktive und disjunktive Normalform; identisch wahre Ausdrücke; Entscheidungsverfahren.- 5. Ausgezeichnete Normalform; Entscheidung über Ersetzbarkeit; Beispiele.- b) Anwendung der Theorie der Wahrheitsfunktionen auf das logische Schließen; Formalisierung aussagenlogischer Schlüsse mittels der identisch wahren Ausdrücke, der Einsetzungsregel und des Schlußschemas.- c) Deduktive Aussagenlogik.- 1. Problemstellung.- 2. Ein System der deduktiven Aussagenlogik; Vollständigkeitseigenschaften dieses Systems.- 3. Positive Logik; reguläre Implikationsformeln; positiv identische Implikationsformeln; Möglichkeiten der Kürzung.- d) Unabhängigkeitsbeweise nach der Methode der Wertung.- 1. Die logische Interpretation als Wertung; das allgemeine Verfahren.- 2. Unabhängigkeitsbeweise für das aufgestellte System; noch ein weiterer Unabhängigkeitsbeweis.- 3. Anwendung der Wertungsmethode auf die Frage der Vertretbarkeit von Formeln durch Schemata.- e) Rückkehr zu der unter b) betrachteten Art der Formalisierung des Schließens; abkürzende Regeln; Bemerkung über den Fall eines Widerspruchs.- § 4. Die Formalisierung des Schließens II: Der Prädikatenkalkul.- a) Einführung der Individuenvariablen; Begriff der Formel; Einsetzungsregel; Beispiel; Vergleich mit dem inhaltlichen Schließen.- b) Die gebundenen Variablen und die Regeln für Allzeichen und Seinszeichen.- 1. Unzulänglichkeit der freien Variablen.- 2. Einführung der gebundenen Variablen; Allzeichen und Seinszeichen; Regel der Umbenennung; Vermeidung von Mehrdeutigkeiten; Erweiterung des Begriffs der Formel sowie der Einsetzungsregel.- 3. Heuristische Einführung der Regeln für die Allzeichen und Seinszeichen; inhaltliche Deutung der Formeln und Schemata.- 4. Zusammenstellung der Regeln des Prädikatenkalkuls; Darstellung der Formen kategorischer Urteile; Ausschluß des leeren Individuenbereichs.- c) Ausführung von Ableitungen.- 1. Einige abgeleitete Regeln.- 2. Ableitung von Formeln.- d) Systematische Fragen.- 1. Begriff der k-zahlig identischen Formel und der im Endlichen identischen Formel; deduktive Abgeschlossenheit der Gesamtheit der k-zahlig identischen Formeln; Widerspruchsfreiheit des Prädikatenkalkuls; Vollständigkeitsfragen.- 2. Exkurs über die mengentheoretische Prädikatenlogik; Vorläufiges zu den Fragen der Vollständigkeit; das Entscheidungsproblem und seine Verschärfung unter dem deduktiven Gesichtspunkt.- e) Betrachtungen über den Formalismus des Prädikatenkalkuls.- 1. Begriff der Überführbarkeit; abgeleitete Regeln.- 2. Überführung von Formeln in pränexe Formeln; Beispiele; Abgrenzung von Fällen der Lösung des Entscheidungsproblems an Hand der pränexen Normalform.- 3. Zerlegung einer Formel des einstelligen Prädikatenkalkuls in Primärformeln; Beispiel.- f) Deduktionsgleichheit und Deduktionstheorem.- 1. Begriff der Deduktionsgleichheit; zwei wesentliche Fälle von Deduktionsgleichheit; Überführbarkeit und Deduktionsgleichheit.- 2. Das Deduktionstheorem.- 3. Anwendungen des Deduktionstheorems: Zurückführung axiomatischer Fragen auf solche der Ableitbarkeit von Formeln des Prädikatenkalkuls; erleichterte Feststellung der Ableitbarkeit; Betrachtung einer gebräuchlichen Schlußweise.- 4. Deduktionsgleichheit einer jeden Formel mit einer Skolemschen Normalform sowie auch mit einer Normaldisjunktion; Vereinfachung des Überganges.- § 5. Hinzunahme der Identität. Vollständigkeit des einstelligen Prädikatenkalkuls.- a) Erweiterung des Formalismus.- 1. Das Gleichheitszeichen; Darstellung von Anzahlaussagen; die Gleichheitsaxiome und die formalen Eigenschaften der Identität.- 2. Verwendung der Gleichheitsaxiome zu Umformungen, insbesondere solchen von Anzahlbedingungen; Anzahlformeln.- 3. Zerlegung einer Formel des erweiterten einstelligen Prädikatenkalkuls in Primärformeln.- 4. Ausdehnung des Begriffes der k-zahlig identischen Formel; deduktive Abgeschlossenheit der Gesamtheit der k-zahlig identischen Formeln; Eindeutigkeitsbetrachtung.- 5. Hinzunahme von Funktionszeichen; Begriff des Terms; ableitbare Formeln.- b) Lösung von Entscheidungsproblemen; Vollständigkeitssätze.- 1. Entscheidung über die Ableitbarkeit solcher pränexer Formeln des Prädikatenkalkuls, bei denen jedes Allzeichen jedem Seinszeichen vorhergeht; Entscheidbarkeit im Endlichen.- 2. Ableitbarkeit einer jeden im Endlichen identischen Formel des einstelligen Prädikatenkalkuls, Nachweis mit Hilfe des vorherigen Entscheidungsverfahrens; ein mengentheoretischer Nachweis und seine finite Verschärfung.- 3. Deduktionsgleiche Normalform für eine Formel des erweiterten einstelligen Prädikatenkalkuls.- 4. Vollständigkeitssätze für den erweiterten einstelligen Prädikatenkalkul.- § 6. Widerspruchsfreiheit unendlicher Individuenbereiche. Anfänge der Zahlentheorie.- a) Überleitung von der Frage der Unableitbarkeit gewisser im Endlichen identischer Formeln des Prädikatenkalkuls zur Frage der Widerspruchsfreiheit eines zahlentheoretischen Axiomensystems.- 1. Ersetzung der Formelvariablen durch Prädikatensymbole; eine Abhängigkeit zwischen den betrachteten Formeln.- 2. Einbeziehung der Gleichheitsaxiome; die Dedekindsche Unendlichkeitsdefinition; Einführung des Strichsymbols.- 3. Übergang zu Axiomen ohne gebundene Variablen unter Verschärfung der Existenzaxiome; das Symbol 0; Ziffern im neuen Sinne; Peanosche Axiome; Zusammenstellung der erhaltenen Axiome.- b) Allgemein logischer Teil des Nachweises der Widerspruchsfreiheit.- 1. Spezialisierung der Endformel; Ausschluß gebundener Variablen; Auflösung in Beweisfäden.- 2. Rückverlegung der Einsetzungen; Ausschaltung der freien Variablen; numerische Formeln; Definition von „wahr“ und „falsch“; „Wahrheit“ einer jeden ohne Benutzung gebundener Variablen ableitbaren Formel.- 3. Einbeziehung der gebundenen Variablen; Maßregel zur Erhaltung der Schemata bei der Rückverlegung der Einsetzungen; Unzulänglichkeit des bisherigen Verfahrens.- c) Durchführung des Nachweises der Widerspruchsfreiheit mittels eines Reduktionsverfahrens.- 1. Ausschaltung der Allzeichen; die Reduktionsschritte; Begriff der Reduzierten.- 2. Verifizierbare Formeln; Eindeutigkeitssatz; Hilfssätze.- 3. Verifizierbarkeit einer jeden ableitbaren, von Formelvariablen freien Formel; Wiedereinbeziehung der Allzeichen; Ersetzbarkeit von Axiomen durch Axiomenschemata.- d) Übergang zu einem (im Bereich der Formeln ohne Formelvariablen) deduktiv abgeschlossenen Axiomensystem.- 1. Unableitbarkeit gewisser verifizierbarer Formeln durch das betrachtete Axiomensystem; Nachweis mit Hilfe von „Ziffern zweiter Art“.- 2. Ansatz zur Vervollständigung des Axiomensystems; Ableitbarkeit einer Reihe von Äquivalenzen als hinreichende Bedingung.- 3. Deduktive Zurückführung der Äquivalenzen auf fünf zu den Axiomen hinzuzufügende Formeln; Vereinfachungen; das System (A).- 4. Vollständigkeitseigenschaften des Systems (A).- e) Einbeziehung der vollständigen Induktion.- 1. Formalisierung des Prinzips der vollständigen Induktion durch eine Formel oder durch ein Schema; Gleichwertigkeit der beiden Formalisierungen; Unverändertheit des Bereiches der ableitbaren Formeln ohne Formelvariablen bei der Hinzunahme des Induktionsschemas zu dem System (A).- 2. Vereinfachung des Axiomensystems bei Hinzunahme des Induktionsaxioms; das System (B).- f) Unabhängigkeitsbeweise.- 1. Unableitbarkeit des Induktionsaxioms aus dem System (A).- 2. Unabhängigkeitsbeweise mittels eines Substitutionsverfahrens.- 3. Feststellung der übrigen Unabhängigkeiten durch Modifikationen des Reduktionsverfahrens.- g) Darstellung des Prinzips der kleinsten Zahl durch eine Formel; Gleichwertigkeit dieser Formel mit dem Induktionsaxiom bei Zugrundelegung der übrigen Axiome des Systems (B).- § 7. Die rekursiven Definitionen.- a) Grundsätzliche Erörterungen.- 1. Das einfachste Schema der Rekursion; Formalisierung des anschaulichen Berechnungsverfahrens; Gegenüberstellung von expliziter und rekursiver Definition.- 2. Nachweis der Widerspruchsfreiheit der Hinzunahme rekursiver Definitionen im Rahmen des elementaren Kalkuls mit freien Variablen; Einbeziehung des Induktionsschemas.- 3. Unmöglichkeit, die Widerspruchsfreiheit der rekursiven Definitionen schon aus der Widerspruchsfreiheit des vorherigen Axiomensystems zu folgern; Ersetzbarkeit arithmetischer Axiome durch rekursive Definitionen; explizite Definition von „ Produkte mit variabler Gliederzahl; Darstellung von allgemeinen und existentialen Aussagen über Zahlen ?n, sowie von Maximum- und Minimumausdrücken.- 3. Teilbarkeit; Division mit Rest; kleinster von 1 verschiedener Teiler; Reihe der Primzahlen; Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren; umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Zahlen > 1 und den endlichen Folgen von Zahlen; Numerierung der Zahlenpaare; größter gemeinsamer Teiler; kleinstes gemeinsames Vielfaches.- c) Erweiterungen des Schemas der Rekursion und des Induktionsschemas.- 1. Rekursionen, die sich auf das einfachste Rekursionsschema (die primitive Rekursion) zurückführen lassen: Wertverlaufsrekursionen, simultane Rekursionen.- 2. Verschränkte Rekursionen; Unzurückführbarkeit gewisser verschränkter Rekursionen auf primitive Rekursionen.- 3. Erweiterte Induktionsschemata; ihre Entbehrlichkeit.- d) Vertretbarkeit rekursiver Funktionen; Übergang zu einem für die Zahlentheorie ausreichenden Axiomensystem.- 1. Rückkehr zum vollen Formalismus; das System (C); Begriff einer wesentlichen Erweiterung eines Formalismus; Beispiele von nicht wesentlichen Erweiterungen; Vertretbarkeit einer Funktion.- 2. Nachweis, daß die Summe und die Differenz im Formalismus des Systems (B) nicht vertretbare Funktionen sind; die Rekursionsgleichungen für die Summe als Axiome; das System (D).- 3. Nachweis der Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit des Systems (D) nach der Methode der Reduktion; Unvertretbarkeit des Produktes im Formalismus des Systems (D).- 4. Veränderte Situation bei Hinzunahme der Rekursionsgleichungen für das Produkt; das System (Z).- e) Ergänzende Betrachtungen über die Gleichheitsaxiome.- 1. Ersetzung des zweiten Gleichheitsaxioms durch speziellere Axiome.- 2. Anwendung auf die Axiomensysteme (A), (B), (Z).- 3. Anwendung auf das Entscheidungsproblem; Eliminierbarkeit der Gleichheitsaxiome aus einer Ableitung einer Formel des Prädikatenkalkuls.- § 8. Der Begriff „derjenige, welcher“ und seine Eliminierbarkeit.- a) Die ?-Regel und ihre Handhabung.- 1. Inhaltliche Erörterung; Einführung der ?-Regel; Vermeidung von Kollisionen; Darstellung von Funktionen durch ?-Terme.- 2. Einlagerung und Überordnung; abkürzende Symbole.- 3. Die Funktion ? (A); Formalisierung des Begriffs der kleinsten Zahl durch die Funktion ?xA (x); Eindeutigkeitsformeln.- b) Deduktive Entwicklung der Zahlentheorie auf Grund des Axiomensystems (Z) unter Hinzunahme des formalisierten Begriffs der kleinsten Zahl.- 1. Begriff „kleiner“; Kongruenz; Division mit Rest; Teilbarkeit; zueinander prime Zahlen.- 2. Kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei Zahlen und von einer endlichen Folge von Zahlen; Maximum einer endlichen Folge von Zahlen.- c) Zurückführung primitiver Rekursionen auf explizite Definitionen mittels der Funktion ?xA (x) bei Zugrundelegung des Systems (Z).- 1. Heuristischer Ansatz.- 2. Formale Durchführung; Möglichkeit der Verallgemeinerung des Verfahrens.- d) Die Eliminierbarkeit der Kennzeichnungen (der ? -Symbole).- 1. Erweiterung der ?-Regel, Verhältnis zur ursprünglichen ?-Regel, die Terme ?(d)xA (x).- 2. Der Ansatz von Rosser und seine Vereinfachung durch Hasenjaeger. Einsetzung von ?-Termen, das Axiom {?}, Beschaffenheit der in Frage stehenden formalen Systeme.- 3. Erklärung der „Reduzierten“ einer Formel und Zurückführung des zu erbringenden Nachweises auf den Beweis der ?-freien Herleitbarkeit der nach einem gewissen Schema gebildeten Formeln.- 4. Durchführung dieses Beweises.- 5. Formulierung des Eliminationstheorems, Überführbarkeit jeder Formel in ihre Reduzierte, Vergleich verschiedener Eliminationsverfahren.- e) Folgerungen aus der Eliminierbarkeit der Kennzeichnungen.- 1. Die Vertretbarkeit der rekursiven Funktionen im System (Z).- 2. Allgemeines Verfahren der Ausschaltung von Funktionszeichen durch Einführung von Prädikatensymbolen; Ausschaltung von Individuensymbolen.- 3. Durchführung des Verfahrens an dem System (Z); Ausblick auf weitere Fragestellungen.- f) Nachtrag: Ausdehnung des Satzes über die Vertretbarkeit des Gleichheitsaxioms (J2) bei Hinzunahme der ?-Regel.- Namenverzeichnis.