Die Mathematische Methode

Erster Teil. Beispiele aus den einzelnen Gebieten.- Erster Abschnitt. Der geometrische Beweis.- § 1. Vorgegebene und synthetische Begriffe. Gegenstandsbegriffe. Relationsbegriffeio.- § 2. Axiome, insbesondere Existentialaxiome.- § 3. Das Parallelenaxiom.- § 4. Einfachste Beweisformen: Winkelsumme im Dreieck, gleichschenkliges Dreieck.- § 5. Beispiel aus der nichteuklidischen Geometrie.- § 6. Das Wesen dieser Beweise.- § 7. Rolle der Anschauung. Rein logische Beweisführung.- § 8. Rein logische Entwicklung von Anordnungstatsachen.- § 9. Symbolrechnung.- § 10. Beweise, die durch Abbildung geführt werden.- Zweiter Abschnitt. Beweise und Konstruktionen in der Mechanik.- §11. Mittelpunkt von drei gleichen, an einer ebenen Platte angreifenden Parallelkräften.- § 12. Der Hebelbeweis des (Archimedes).- § 13. (Mach)s Kritik des Beweises.- §14. Geradlinige Bewegung einer Masse unter dem Einfluß einer konstanten Kraft.- §15. Konstruktion der Wurfparabel.- § 16. Rückblick.- Dritter Abschnitt. Die Synthese des Maßbegriffs.- §17. Qualität und Quantität. Maß.- §18. Gleichheit und Äquivalenz.- §19. Das Ganze und der Teil bei den Strecken. Addition der Strecken.- § 20. Die unendliche Länge der Geraden.- §21. Vielfache und Bruchteile von Strecken.- § 22. Begründung des Streckenmaßes.- § 23. Proportionen.- § 24. Maßzahlen von mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Strecken.- § 25. Das Maß bei anderen Größenarten.- § 26. Inhalt von ebenen Figuren und Körpern.- § 27. Inhaltsmaß und rechnende Geometrie.- § 28. Die Dimension in der Mechanik und der Physik.- Vierter Abschnitt. Die mathematische Stetigkeit. Eigenschaften unendlicher Punktmengen.- § 29. Das (DEDEKIND)sche Stetigkeitsaxiom.- § 30. Beweis des archimedischen Hilfssatzes.- § 31. Die Existenz der genauen Teilstrecke.- § 32. Einholung eines bewegten Punktes durch einen anderen.- § 33. Bemerkungen über Kontinuum, stetige Abhängigkeit und zusammenhängende Iänie. Die Stetigkeit als Prinzip von (Leibniz).- § 34. Mengen von unendlich vielen Punkten.- § 35. Existenz des Verdichtungspunkts und des rechten und linken Grenzpunkts.- § 36. „Nichtabzählbarkeit” des Punktkontinuums.- Fünfter Abschnitt. Analytische Geometrie.- § 37. Abszissen auf einer Geraden.- § 38 Koordinaten in einer Ebene. Gleichung einer Geraden. Anordnung der Punkte in der Geraden.- § 39. Strecken und Winkel. Parallelität und Senkrechtstehen.- § 40. Kegelschnitte.- § 41. Abbildung der Ebene und des Raumes auf Zahlenmannigfaltigkeiten.- Sechster Abschnitt. Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der geometrischen Axiome. Höhere Mannigfaltigkeiten.- § 42. Die Widerspruchslosigkeit der euklidischen Geometrie.- § 43. Die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms von den anderen Axiomen oder die Widerspruchslosigkeit der nichteuklidischen Geometrie.- § 44. (John Stuart Mills) Äußerungen zum Parallelenaxiom.- § 45. Neueste Versuche das Parallelenaxiom aufzufassen.- §46. Andere Arten des Aufbaus der Geometrie.- § 47. Wert der „Axiomatik”.- § 48. Sogenannte vier- und mehrdimensionale Geometrie. (Riemann)s allgemeine Zahlenmannigfaltigkeiten.- Siebenter Abschnitt. Methode der Grenzwerte oder Infinitesimalverfahren.- §49. Bestimmung des Inhalts der Kreisfläche.- § 50. Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe.- §51. Würdigung des in den beiden letzten Paragraphen benutzten Beweisverfahrens.- §52. Gleichförmig beschleunigte Bewegung.- § 53. Strenger Beweis für die eindeutige Bestimmtheit des Grenzwerts.- § 54. Unhaltbarkeit der logisch transzendenten Auffassung des Unendlichen. (Kepler) und (Cavalieri).- §55. Sogenannte Summen unendlicher Reihen.- § 56. Herleitung der Barometerformel.- Achter Abschnitt. Funktion und Differentialquotient.- § 57. Begriff der Funktion.- § 58. Der Differentialquotient als Koeffizient der Kurvensteigung.- § 59. Der Differentialquotient als Geschwindigkeitsmaß.- § 60. Würdigung des Begriffs des Differentialquotienten.- § 61. Anwendung auf Maxima und Minima.- § 62. Satz von (Rolle). Mittelwertsatz und Folgerungen für endliche Zuwüchse.- Neunter Abschnitt. Reine niedere Arithmetik der reellen Zahlen.- § 63. Die ganze Zahl als Stellenzeichen und als Anzahl.- § 64. Addition der Stellenzeichen.- § 65. Beweis des Assoziativgesetzes und des Kommutativgesetzes der Addition.- § 66. Analyse eines anderen Beweises des Kommutativgesetzes.- § 67. Die Notwendigkeit der Grundtatsache und des Anzahlbegriffs auch für theoretische Erwägungen.- § 68. Beweis der Grundtatsache.- § 69. Begründung der Anzahl. Addition und Subtraktion der Anzahlen.- § 70. Multiplikation der Anzahlen.- § 71. Beweis des Kommutativgesetzes der Multiplikation.- § 72. Produkt von beliebig vielen Faktoren.- § 73. Die Buchstabenrechnung.- § 74. Brüche.- § 75. Irrationalzahlen.- § 76. Die Existenz der oberen Grenze.- § 77. Negative Zahlen.- Zehnter Abschnitt. Die sogenannten imaginären Zahlen und ihre Anwendungen.- § 78. Der,,casus irreducibilis” der Gleichung dritten Grades und die imaginären Zahlen.- § 79. Geometrische Darstellung und Begründung.- § 80. Rein arithmetische Begründung.- § 81. (Natorp)s Vorschlag für eine arithmetische Begründung.- § 82. Der Fundamentalsatz der Algebra.- § 83. Allgemeine Bemerkungen über die Einführung neuer Zahlenarten.- § 84. Die (Hamilton)schen Quaternionen.- § 85. Weitere Beispiele.- § 86. Potenzlinie. Imaginäre Schnittpunkte von Kreisen.- § 87. Unendlich ferne Punkte.- § 88. Imaginäre unendlich ferne Punkte.- Elfter Abschnitt. Höhere Arithmetik der reellen Zahlen.- § 89. Zerlegung der Zahlen in Primzahlen.- § 90. Die unendliche Zahl der Primzahlen.- § 91. Satz von (Fermat).- § 92. Darstellung einer Primzahl als Summe zweier Quadrate.- § 93. Gerade und ungerade Permutationen und Substitutionen.- Zweiter Teil. Logische Analyse der Methoden.- Zwölfter Abschnitt. Allgemein logische Vorbemerkungen.- § 94. Form und Inhalt der Aussagen.- § 95. Schlüsse. Umkehrung der zweigliedrigen Relation.- § 96. Begriff. Umfang und Inhalt. Merkmalstheorie.- § 97. Bildung der Begriffe. Definition.- § 98. Gegenstand und Begriff höherer Ordnung. Begriffs zeichen. Begriff und Sache.- § 99. Vorangehender und nachfolgender Begriff.- § 100. Einteilung eines Begriffs. Prinzip der Einteilung.- §101. Urteil. Bejahung und Verneinung. Beziehung zu den Existenzurteilen.- § 102. Abhängigkeit der Urteile. Hypothetisches Urteil. Alternative. Unverträglichkeit. Prinzip des Widerspruchs.- §103. Die eigentliche Bedeutung des hypothetischen Urteils und der Unverträglichkeit. Indirekter Beweis.- §104. Gibt es eine Verneinung des hypothetischen Urteils? Verträglichkeit. Das Problem von (Lewis-Carroll).- §105. Logistik. Kalkül der Gattungsbegriffe und Relationen.- § 106. Urteilskalkül. Allgemeine Verstandesbegriffe.- Dreizehnter Abschnitt. Bausteine zu einer Logik der mathematischen Wissenschaften.- § 107. Verkettung der Relationen.- § 108. Beispiel: Die Theorie des dritten Elements.- § 109. Erweiterung der Theorie mit Hilfe eines neuen Relationsbegriffs.- § 110. Zahlformeln, Vertauschungen und Ähnliches.- § 111. Synthetische Begriffe.- § 112. Synthetische Allgemeinbegriffe und erzeugende Beziehungen.- § 113. Abbildung und auf Grund von Abbildungen gezogene Schlüsse.- § 114. Vereinfachte Abbildung. Darstellung und Deutung.- § 115. Substitution des Gleichartigen für das Gleichartige. Prinzip der übereinstimmenden Erzeugung.- § 116. Überbauung synthetischer und anderer Begriffe durch synthetische Begriffe.- § 117. Die sogenannte axiomatische Arithmetik beleuchtet vom Standpunkt der Überbauung der Begriffe.- § 118. Weitere Aufschlüsse über hypothetisches Urteil und Unverträglichkeit, Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit.- § 119. Schluß von n auf n + I. Beispiele.- § 120. Würdigung dieser und anderer ähnlicher Schlußweisen.- § 121. Die Reihenfolge ein Gegenstand des Denkens und eine Form des Denkprozesses.- § 122. Nichtableitbarkeit des Begriffs der Reihenfolge. Versuch diesen Begriff auf ein System von Relationen zurückzuführen.- § 123. Neuer Versuch einer solchen Zurückführung.- § 124. Das Kontinuum eine gegebene Urform.- § 125. Der notwendige Charakter mathematischer Betrachtung und die verschiedenen Seiten des mathematischen Denkprozesses.- § 126. Vom Einfachen und Zusammengesetzten.- § 127. (Kant)s synthetische und analytische Urteile.- Dritter Teil. Der Zusammenhang mit der Erfahrung.- Vierzehnter Abschnitt. Die Tatsachen räumlicher Wahrnehmung und die Grundbegriffe und Axiome der Geometrie.- § 128. Die Geometrie als Erfahrungswissenschaft im Gegensatz zu der Theorie von (Kant).- § 129. Sehlinie. Gespannter Faden. Starrer Körper.- § 130. Möglichkeit der,,Abbildung” von Erfahrungstatsachen durch das Denken. Realrelationen. Gegenstände höherer Ordnung.- § 131. Grund der Anwendbarkeit der Mathematik auf Erfahrung.- § 132. (Kant)s Argumente für die angebliche Subjektivität der Raumordnung.- § 133. Die unendliche Länge der Geraden. Der Körper und sein Spiegelbild.- § 134. Apriorisches und aposteriorisches Wissen.- § 135. Möglichkeit der Bestätigung oder Widerlegung der Geometrie in der Erfahrung. Idealisierung. Genauigkeitsgrenzen.- Fünfzehnter Abschnitt. Tatsachen und Annahmen in der klassischen Mechanik.- § 136. Allgemeine Stellungnahme zu den Grundbegriffen und Definitionen der Mechanik.- § 137. Kraft.- §138. Trägheitsgesetz.- § 139. Zeitmessung.- § 140. (Newton)s zweites Gesetz.- §141. Das Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik.- § 142. Unabhängigkeitsprinzip. Deduktion der Proportionalität von Beschleunigung und Kraft. Parallelogramm der Kräfte.- § 143. Masse.- § 144. Die Erhaltung der lebendigen Kraft bei (Leibniz).- § 145. Das zusammengesetzte Pendel behandelt auf Grund des Satzes von der lebendigen Kraft.- § 146. Würdigung der gemachten Annahme. Die Behandlung des Problems durch (Huygens).- § 147. Dritte Behandlung des zusammengesetzten Pendels.- § 148. Prinzip der Wirkung und Gegenwirkung. Prinzip von D’Alembert.- § 149. Über den Charakter der Annahmen in der Mechanik.- Sechzehnter Abschnitt. Tatsachen und Annahmen in der Physik.- § 150. Allgeimene Bemerkungen über die zu machenden Annahmen.- §151. Wärmemenge.- §152. Satz von der Erhaltung der Energie.- § 153. Zur Vorgeschichte des Energieprinzips.- § 154. Die Energie im unendlichen Raum.- § 155. Das Iyicht als Strahl.- § 156. Das licht als Wellenvorgang.- § 157. Positive und negative Elektrizitätsmengen.- § 158. Elektrischer Strom und (Ohm)sches Gesetz.- § 159. (Kirchhoff)sche Gesetze.- § 160. (Faraday)s Kraftfelder und (Maxwells Theorie des Elektromagnetismus.- § 161. Potential. Beziehung zu den Messungen.- § 162. Elektromagnetische Schwingungen. (Maxwell)s Lichttheorie.- § 163. Unmittelbare Fernwirkung und Fortpflanzung von Wirkungen.- § 164. Moderne Atomtheorie.- § 165. Neueste Annahmen in der Physik. (Einstein)s Relativitätstheorie.- § 166. (Kant)s „reine Naturwissenschaft”. Regulative Ideen in der Physik. Kausalität.- Erster Anhang. Die Kunst der Untersuchung.- § 167. Erfahrung und Denken.- § 168. Vermutung, Fragestellungen, Induktion und Analogie.- § 169. Beispiel einer (Gauss)schen Untersuchung.- § 170. Zweites Beispiel.- § 171. Wesen und Verfahren der Induktion. (Mill)s induktive Logik.- § 172. Verhältnis von Deduktion und Induktion.- § 173. Verwendung der Annahme.- § 174. Das Auftreten des Widerspruchs. Verfahren der Prüfung.- § 175. Die Entwicklung der Wissenschaft.- § 176. Allgemeine Verhaltungsmaßregeln. Wissenschaftliche Fähigkeiten.- Zweiter Anhang. Paradoxien und Antinomien.- § 177. Einleitende Bemerkungen.- § 178. Division mit Null.- § 179. (Tristram Shandys) Lebensbesehreibung.- § 180. Nochmals der Teil und das Ganze.- § 181. Sophisma des (Zeno).- § 182. Das Rätsel der Sphinx.- § 183. (Kant)s sogenannte Antinomien.- § 184. Geordnete und wohlgeordnete Mengen. Ordnungstypen und transfinite Zahlen.- § 185. Antinomie von (Burali-Forti).- § 186. Antinomie von (Richard).- § 187. (Russel)s Antinomie.- § 188. Schlußbetrachtungen.- Namenverzeichnis.